Mô đun đàn hồi là gì?
Mô đun đàn hồi (tiếng Anh: Young’s modulus hoặc modulus of elasticity, ký hiệu E) là đại lượng đặc trưng cho độ cứng (stiffness) của vật liệu trong vùng biến dạng đàn hồi tuyến tính. E được định nghĩa là tỷ số giữa ứng suất (σ) và biến dạng (ε) khi vật liệu tuân theo Định luật Hooke.
Công thức: E = σ / ε = (F/A) / (ΔL/L₀)
Đơn vị của E là Pascal (Pa) nhưng trong kỹ thuật thường dùng GPa (Gigapascal) vì giá trị E của vật liệu kết cấu rất lớn (hàng chục đến hàng trăm GPa). Quan hệ: 1 GPa = 1000 MPa = 10⁹ Pa.
Ý nghĩa vật lý của mô đun đàn hồi
E đo lường sức đề kháng của vật liệu với biến dạng đàn hồi. Vật liệu có E lớn (cứng) biến dạng ít hơn dưới cùng một ứng suất. Vật liệu có E nhỏ (mềm) biến dạng nhiều hơn. E không liên quan đến độ bền — vật liệu cứng chưa chắc bền hơn.
Về vi mô, E tỷ lệ với độ cứng của liên kết nguyên tử trong mạng tinh thể. Kim cương có E ≈ 1000 GPa vì liên kết cộng hóa trị C–C cực kỳ mạnh. Chì có E ≈ 16 GPa vì liên kết kim loại của Pb yếu hơn nhiều.
Giá trị E của vật liệu thông dụng
- Thép kết cấu (carbon steel): E = 200–210 GPa. Tiêu chuẩn Eurocode lấy E = 210 GPa; TCVN lấy E = 200.000 MPa.
- Nhôm và hợp kim nhôm: E ≈ 70 GPa — bằng 1/3 thép, đây là lý do cấu kiện nhôm cần tiết diện lớn hơn để đạt độ cứng tương đương.
- Bê tông: E = 20–35 GPa, phụ thuộc cấp cường độ. Bê tông C30 có Ecm ≈ 32 GPa (Eurocode 2); công thức xấp xỉ E ≈ 4700√fc’ (MPa, psi theo ACI 318).
- Gỗ: E = 7–15 GPa theo chiều dọc thớ; giảm 10–20 lần theo chiều ngang thớ. Gỗ là vật liệu dị hướng (anisotropic).
- Kim cương: E ≈ 1000 GPa — vật liệu tự nhiên cứng nhất.
- Cao su: E ≈ 0,01–0,1 GPa — rất thấp, biến dạng đàn hồi lớn.
Mô đun đàn hồi và Định luật Hooke
Định luật Hooke (Robert Hooke, 1678) phát biểu: trong giới hạn đàn hồi, ứng suất tỷ lệ tuyến tính với biến dạng, hệ số tỷ lệ là E. Trên đường cong σ–ε, E là độ dốc (slope) của phần tuyến tính ban đầu.
Định luật Hooke chỉ áp dụng trong vùng đàn hồi tuyến tính — trước điểm giới hạn tỷ lệ (proportional limit). Sau điểm này, quan hệ σ–ε không còn tuyến tính và E không còn áp dụng trực tiếp.
Mô đun tiếp (Shear Modulus — G)
Tương tự E cho biến dạng dọc trục, mô đun trượt G đặc trưng cho độ cứng của vật liệu với biến dạng cắt: G = τ/γ. Quan hệ giữa E, G và hệ số Poisson ν: G = E / [2(1+ν)]. Với thép: G ≈ 80 GPa (từ E=210 GPa, ν=0,3).
Mô đun nén khối (Bulk Modulus — K)
K đặc trưng cho sức đề kháng của vật liệu với nén đẳng hướng (thay đổi thể tích). Quan hệ: K = E / [3(1-2ν)]. Với vật liệu gần không nén được (ν ≈ 0,5 như cao su), K → ∞.
Ứng dụng E trong tính toán kết cấu
Mô đun đàn hồi xuất hiện trong hầu hết các công thức kết cấu:
- Độ võng dầm: δ = 5wL⁴/(384EI) — độ võng tỷ lệ nghịch với E.
- Lực trong cấu kiện thanh: Δ = FL/(EA) — giãn/nén tỷ lệ nghịch với E.
- Tần số dao động tự nhiên: f ∝ √(EI/m) — kết cấu cứng hơn có tần số riêng cao hơn.
- Biến dạng nhiệt: σ_nhiệt = E·α·ΔT (α là hệ số giãn nở nhiệt).
Cách xác định E bằng thực nghiệm
E được xác định từ thử nghiệm kéo (tensile test) theo TCVN 197 hoặc ISO 6892: đo lực F và biến dạng ΔL (bằng extensometer), vẽ đường cong σ–ε, tính E = Δσ/Δε trong vùng tuyến tính. Phương pháp siêu âm (ultrasonic pulse velocity) cũng cho phép ước tính E không phá hủy.
Câu hỏi thường gặp
- E có thay đổi theo nhiệt độ không?
- Có. E giảm khi nhiệt độ tăng. Thép ở 600°C có E chỉ còn khoảng 30% so với ở nhiệt độ phòng — đây là lý do kết cấu thép cần bảo vệ chống cháy. Tiêu chuẩn EN 1993-1-2 cung cấp hệ số giảm E theo nhiệt độ.
- Mô đun đàn hồi và độ cứng có giống nhau không?
- Không hoàn toàn. Độ cứng kết cấu (structural stiffness, k = EA/L hay EI/L) phụ thuộc cả E và hình học tiết diện/chiều dài. E là tính chất vật liệu; k là tính chất của cấu kiện.
- Tại sao bê tông có E thấp hơn thép nhiều vậy?
- Bê tông là vật liệu không đồng nhất gồm cốt liệu (E cao), xi măng đã đóng rắn (E trung bình) và lỗ rỗng (E=0). Giá trị E trung bình thấp hơn nhiều so với thép có cấu trúc tinh thể đồng đều.